当分、このタイトルで綴ってみるつもり。あまり面白みがないと思われますので、読み飛ばしてください。さて、３次方程式を直接解く為の工夫が昔から行われ、その歴史を紐解くだけも、このシリーズがおわっちゃいますので、ちとそのあたりは、後半にまわして、直接に解法を先にまとめておきます。ここでは、イタリアの
Cardano(カルダノ）の方法で、解いてみましょう。
まず、昨日の（１）式を簡単にするために、以下のように置き換えます。
(後で数式はmathtypeなどで、見やすいように書き直します。
うまく、空白、スペースが。。。後でこれも直しておきます。）
x=t- b/3a ------ (2)
そうすると、結論を先に書きますと、
t^3+pt+q -------(3)
ここで、
p=-b^2/3a^2+c/a,
q= 2b^3/27a^3-bc/3a^2+d/a ------(4)
まだ３次ですが、（１）式より、ずっと簡素になった。でも解けたわけではない。
次に、t=u+v とおき、（３）式に代入します。
即ち、
t^3+pt+q=(u+v)^3+p(u+v)+q
=u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q =0 ----(5)
ここで もし、
u^3+v^3+q=0
3uv+p=0 --------(6)
この (6) が成立ような、u, vが見かれば、それから解 x が
求められる.
(ちと小休止して、これがイタリアのカルダノ(1501-1576)です。そう、１６世紀ですね。）
ところで、３次方程式が２次方程式になるから、また不思議です。数学は特に代数学は
形が綺麗で、また解き方によってはとても簡単に解けるから不思議ですね。
昔の数学者はよくもこんなことが思いつきますね。（まだまだ、続きます。）
中学時代に、２次方程式の根と係数の関係を習いましたが、あれが利用できます。
u^3, v^3 が根となるような、２次式を考えます。
上の（６）式をよく見ますと、
u^3+v^3=-q
u^3*v^3= (-p/3)^3=-r^3 -------------(7)
丁度、２根の和と積で表せますね。
２次式であらわしますと、
z^2 + qz -r^3 = 0 -------------(8)
もう、これは、簡単ですね。 中学生で解けますね。
u^3 = [q + Sqr (q^2+ 4r^3)]/2
v^3 = [q + Sqr (q^2 - 4r^3)]/2 ------------(9)
ここで、Sqrは平方を表します。
一挙に解まで、以下書いておきます。
１の複素数根の一つを ωとして、
β1= u + v
β2= ωu+ω^2v
β3= ω^2u+ωv -------------(10)
この βi をもちいてもとの式の解は次のように表せる。
xi=βi-b/3a ( i=1,2,3) -------------(11)
（11）式が（１）式、３次方程式の根、一般解である。
これは原稿ですので、明日にでも、綺麗に数式で表現してみましょう。
３次方程式がこんなに綺麗な形で解けることを１６世紀の数学者は立派ですね。
数学は美学にどこか通じるところある。
次は、３角関数を用いて解く方法がある。これがまた美しい。
では、また続きは、明日。
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臨界点において、それぞれ次の値をとる。
が根となるような、２次式を考えます。
